Sur la conjecture de Greenberg généralisée pour une classe infinie de corps de nombres

Pour un corps de nombres $k$ et un nombre premier impair $p$, notons $\widetilde{k}$ le compositum de toutes les $\mathbf{Z}_p$-extensions de $k$, $\widetilde{\Lambda}$ l'algèbre d'Iwasawa associée, $X(\widetilde{k})$ le groupe de Galois sur $\widetilde{k}$ de la pro-$p$-extension abélienne non ramifiée maximale de $\widetilde{k}$. La conjecture du titre (GGC en abrégé) prédit la $\widetilde{\Lambda}$-pseudo-nullité de $X(\widetilde{k})$. Si $k$ est totalement réel, on peut considérer que c'est une généralisation "raisonnable" de la conjecture de Vandiver. On connaît très peu de résultats théoriques en direction de GGC. Le plus récent, dû à S. Fujii (2015), montre la validité de GGC pour un corps CM soumis à un certain nombre d'hypothèses appelées "conditions d'Itoh", mais qui sont trop contraignantes pour qu'on sache s'il existe une infinité de tels corps. On montre ici que pour un corps imaginaire $k$, GGC est impliquée par certaines conditions de pseudo-nullité imposées à une seule $\mathbf{Z}_p^2$-extension de $k$, et ces conditions sont vérifiées par la famille infinie des corps dits $(p,-1)$-réguliers.