Dans cet exposé nous nous intéresserons à la régularité locale des fonctions analytiques définies sur la boule unité $\mathbb B^n$. Nous allons montrer qu'une fonction analytique qui n'a pas de zéros dedans la boule ouverte et dont le module est $\alpha$-Lipshitzien dans une certaine pointe $\xi \in \mathbb S^n$, est elle-même $\frac{\alpha}{2}$- "Lipshitzienne en moyenne" dans la même pointe $\xi$. Ce résultat est un generalisation du théorème de Carleson, Jacobs, Havin et Shamoyan