Soit X un espace de Banach complexe (de dimension infinie, séparable et réflexif), T un opérateur linéaire borné sur X et K un compact du plan complexe. On dit que K est M-spectral pour T (M constante positive donnée) si pour toute fonction rationnelle r à pôles hors de K la norme de l'opérateur r(T) n'excède pas M fois la norme (supremum du module sur K) de la fonction r. (Ceci suppose en particulier que le spectre de T est contenu dans K.) Lorsque K est le disque unité fermé on retrouve la notion d'opérateur polynialement borné. En 2003 Ambrozie et Muller ont établi le résultat suivant: Théorème AM Sous les 2 hypothéses suivantes: a) T est polynomialement borné et b) le spectre de T contient le cercle unité, T a des sousespaces invariants non triviaux. Ce résultat représente une généralisation considérable du résultat de Brown-Chevreau-Pearcy (1986) qui l'établissait pour une contraction hilbertienne (l'inégalité de Von Neumann pour une telle contraction garantissant l'hypothèse a)). D'ailleurs, même dans le cadre hilbertien, c'est une généralisation substantielle de (BCP-1986) puisque Pisier en 1997 a montré l'existence d'opérateurs polynomialement bornés sur un espace de Hilbert, non semblables à une contraction, résolvant ainsi "négativement" une célèbre question d'Halmos. Une autre généralisation de BCP-86 avait été obtenue en 1992 par Bercovici et Li (toujours dans un cadre hilbertien et en substituant au concept de dilatation unitaire des contraction de Nagy-Foias -d'usage crucial dans BCP-86- celui de dilatation normale). Leur résultat s'énonce ainsi: Théorème (BL-92) Soit T un opérateur sur l'espace de Hilbert tel que 1) il existe un domaine finiment connexe G dont la frontière est constituée de courbes de Jordan disjointes et est contenue dans le spectre de T et 2) l'adhérence de G est un ensemble spectral (i.e. 1-spectral) pour T . Alors il existe des sousespaces nontriviaux invariants pour toute fonction rationnelle à pôles hors de l'adhérence de G. Dans cet exposé je présenterai un travail en cours (en collaboration avec Isabelle Chalendar) visant à établir le résultat représentant pour A-M-2003 ce que BL-92 représente pour BCP-86. En cours de route les 2 principales innovations de AM (usage systématique du théorème de Zenger et mise en oeuvre de la théorie classique d'interpolation de Carleson) seront revues. Si le temps le permet des résultats de structure et réflexivité analogues à ceux développés par Rejasse et A-M eux-mêmes seront évoqués. Ici les méthodes s'inspirent également celles utilisées dans Chevreau-Li-94 pour dégager précisément les conséquences en terme de structure et réflexivité des résultats de BL-92.