En 2000, Enrique Fernandez-Cara et Enrique Zuazua ont démontré que pour des "faibles" nonlinéarités $f(s)\sim |s| log^{\alpha}(1+|s|) \ (\alpha < 3/2)$, l'équation de la chaleur semilinéaire est globalement contrôlable à zéro en temps petit : étant donné un temps $T>0$ arbitrairement petit, pour toute donnée initiale, il existe un contrôle (une force) localisé en espace qui permette d'amener la solution au temps T à zéro. Ils ont également démontré que leur résultat est très sensible à la classe de nonlinéarités dans le sens suivant : il existe des non-linéarités du type $f(s)\sim |s| log^{\alpha}(1+|s|) \ (\alpha > 2)$ telles qu'on ne puisse pas contrecarrer le blow-up au moyen d'un contrôle localisé. Ceci a donné lieu à la question ouverte : Que se passe t'il pour des nonlinéarités du type $f(s)\sim |s| log^{\alpha}(1+|s|) \ (3/2\le \alpha \le 2)$ ? Peut-on empêcher l'explosion ? Ou mieux, peut-on contrôler l'équation globalement à zéro en temps long, en temps petit ? Dans cet exposé, j'apporterai une réponse partielle à ces questions.