Décrire et compter les corps de nombres

Il existe plusieurs façons de décrire un corps de nombres : polynôme minimal d'un élément primitif, table de multiplication d'une $\mathbf{Q}$-base, traces d'une famille d'éléments, etc. Une description synthétique des corps de nombres permet de construire et donc de compter les corps de nombres de degré donné et de discriminant borné. Des tables construites par Cohen, Diaz et Olivier et une conjecture de Linnik suggèrent que le nombre de classes d'isomorphisme de corps de nombres de degré $n$ et de discriminant inférieur ou égal à $H$ est équivalent à $c(n)H$ quand $n>1$ est fixé et $H$ tend vers l'infini. Cette estimation est prouvée pour n=3 par Davenport et Heilbronn et pour $n=4,5$ par Bhargava. Pour $n$ quelconque Schmidt a prouvé une majoration de la forme $c(n)H^{(n+2)/4}$ à l'aide du théorème de Minkowski. Sa preuve est très effective et a permis de construire des tables. Ellenberg et Venkatesh ont montré que l'exposant de H est asymptotiquement moins que sous-exponentiel en $\log (n)$. Je rappellerai ce contexte et montrerai que l'exposant est moins que $O(\log(n)^3)$.