Nous montrons que sur tout espace de Banach séparable, il existe un opérateur linéaire borné $T$ tel que l'ensemble des points récurrents pour $T$ ainsi que son complémentaire sont d'intérieurs non vides. Deux variantes sont proposées : dans le complémentaire, soit toutes les orbites partent vers l'infini, soit aucune ne part vers l'infini.