En 2004, Crouzeix a conjecturé que l'inégalité $\|P(T)\|\le2\sup_{z\in W(T)}|P(z)|$ tiendrait pour toute matrice T et tout polynôme P. Récemment, Crouzeix et Palencia on montré que cette inégalité tient avec $1+\sqrt2$ à la place du $2$. Dans cet exposé, on partira de ce résultat pour proposer une approche abstraite de la conjecture de Crouzeix. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Raphaël Clouâtre and Thomas Ransford.