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Séminaire d'Analyse
Théorèmes de type Liouville, singularités et estimations universelles pour les problèmes elliptiques et paraboliques non linéaires
Philippe Souplet
( U. Sorbonne Paris-Nord )Salle de conférences
08 février 2024 à 14:00
Le théorème de Cauchy-Liouville établit qu'une fonction entière bornée d'une variable complexe est
nécessairement constante. Une propriété liée et également très classique est que ceci reste vrai pour toute
fonction harmonique bornée sur l'espace euclidien, en toute dimension.
Dans le contexte des EDP, on entend par théorème de type Liouville un résultat affirmant la nonexistence de solutions
dans l'espace entier (ou un domaine non borné approprié),
les solutions étant parfois sujettes à certaines restrictions (e.g., non constante,
ou avec conditions de signe ou de croissance).
De nombreux résultats de ce type, avec des applications importantes, sont apparus au cours des années,
conférant aux théorèmes de type Liouville un rôle notable dans la théorie des EDP
et mettant en évidence des connections fortes avec d'autres domaines mathématiques
(calcul des variations, géometrie, dynamique des fluides, contrôle optimal stochastique).
Après un bref détour historique (surfaces minimales -- Lagrange, Bernstein, de Giorgi, Bombieri,...,
théorie de la régularité pour les systèmes elliptiques linéaires -- Giaquinta, Necas,...),
nous rappellerons les développements des années 1980-2000 sur les
problèmes elliptiques non linéaires, conduisant à des outils robustes
pour l'existence et les estimations a priori pour les problèmes de type Dirichlet (Gidas, Spruck, Caffarelli,...),
basés sur la combinaison de théorèmes de type Liouville et de techniques de renormalisation.
Dans une période plus récente, cette direction de recherche a conduit à des progrès dans l'étude des
{\it singularités} des solutions, tant pour les équations elliptiques que paraboliques.
En particulier, dans le cas des non-linéarités puissances,
nous rappellerons l'équivalence entre théorèmes de Liouville et estimations universelles,
établie par une méthode de renormalisation-doublement (travail en collaboration avec P.~Polacik et P.~Quittner, 2007).
Puis nous présenterons des développements récents qui montrent que, par des modifications appropriées, ces méthodes de renormalisation peuvent être appliquées à des non-linearités sans invariance d'échelle,
même asymptotique, et dont le comportement est très éloigné de celui d'une puissance.
Dans ce cadre, nous montrons notamment que l'équivalence ci-dessus entre théorèmes de Liouville et estimations universelles reste valide. Ceci conduit à des résultats nouveaux
pour les problèmes elliptiques et paraboliques sans invariance d'échelle, concernant les estimations des singularités en temps-espace, les vitesses d'explosion initiales et finales, et les vitesses de décroissance en temps et/ou espace.
Nous illustrerons enfin cette approche par des exemples qui montrent l'optimalité des estimations et des hypothèses.
nécessairement constante. Une propriété liée et également très classique est que ceci reste vrai pour toute
fonction harmonique bornée sur l'espace euclidien, en toute dimension.
Dans le contexte des EDP, on entend par théorème de type Liouville un résultat affirmant la nonexistence de solutions
dans l'espace entier (ou un domaine non borné approprié),
les solutions étant parfois sujettes à certaines restrictions (e.g., non constante,
ou avec conditions de signe ou de croissance).
De nombreux résultats de ce type, avec des applications importantes, sont apparus au cours des années,
conférant aux théorèmes de type Liouville un rôle notable dans la théorie des EDP
et mettant en évidence des connections fortes avec d'autres domaines mathématiques
(calcul des variations, géometrie, dynamique des fluides, contrôle optimal stochastique).
Après un bref détour historique (surfaces minimales -- Lagrange, Bernstein, de Giorgi, Bombieri,...,
théorie de la régularité pour les systèmes elliptiques linéaires -- Giaquinta, Necas,...),
nous rappellerons les développements des années 1980-2000 sur les
problèmes elliptiques non linéaires, conduisant à des outils robustes
pour l'existence et les estimations a priori pour les problèmes de type Dirichlet (Gidas, Spruck, Caffarelli,...),
basés sur la combinaison de théorèmes de type Liouville et de techniques de renormalisation.
Dans une période plus récente, cette direction de recherche a conduit à des progrès dans l'étude des
{\it singularités} des solutions, tant pour les équations elliptiques que paraboliques.
En particulier, dans le cas des non-linéarités puissances,
nous rappellerons l'équivalence entre théorèmes de Liouville et estimations universelles,
établie par une méthode de renormalisation-doublement (travail en collaboration avec P.~Polacik et P.~Quittner, 2007).
Puis nous présenterons des développements récents qui montrent que, par des modifications appropriées, ces méthodes de renormalisation peuvent être appliquées à des non-linearités sans invariance d'échelle,
même asymptotique, et dont le comportement est très éloigné de celui d'une puissance.
Dans ce cadre, nous montrons notamment que l'équivalence ci-dessus entre théorèmes de Liouville et estimations universelles reste valide. Ceci conduit à des résultats nouveaux
pour les problèmes elliptiques et paraboliques sans invariance d'échelle, concernant les estimations des singularités en temps-espace, les vitesses d'explosion initiales et finales, et les vitesses de décroissance en temps et/ou espace.
Nous illustrerons enfin cette approche par des exemples qui montrent l'optimalité des estimations et des hypothèses.
