Dans un célèbre papier publié en 1904, H. von Koch introduit son flocon éponyme. En réalité, l’objectif de l’article n’était pas le flocon mais l’introduction d’une fonction continue nulle part dérivable: von Koch n’était pas satisfait des constructions analytiques existantes de tels objets (la fonction de Weierstrass ou la série de Riemann), et propose une autre fonction construite par une méthode géométrique, analogue à celle menant au flocon.

Il se trouve que cette fonction n’a pas été étudiée depuis, et que la famille de fonctions associée présente de nombreuses propriétés remarquables, notamment de multifractalité, avec des phénomènes de transition de phase. Celles-ci se déduisent de l’étude d’orbites de certains systèmes dynamiques, de l’étude de mesures invariantes, et de la construction de systèmes de fonctions itérées bien adaptés au problème. C’est ce que nous expliquerons dans cet exposé, qui résulte d’un travail joint avec Yann Demichel (Nanterre) et Zoltan Buczolich (Eotvos University, Hongrie).