La problématique générale des espaces atteignables peut être résumée de la manière suivante pour un système contrôlé donné: étant donné un état initial $u_i$ et un temps $T \gt 0$, décrire l'espace $R(u_i,T)$ des états finaux $u_f$ que l'on peut atteindre à partir de $u_i$ au temps $T$. Déterminer l'espace atteignable des systèmes contrôlés est l'un des principaux problèmes de la théorie du contrôle. Donner une caractérisation précise des états qui peuvent être atteints en un certain temps fixé est une question encore largement ouverte pour les systèmes paraboliques: même pour l'équation de la chaleur à coefficients constants en une dimension et contrôlée depuis la frontière, la caractérisation complète de l'espace atteignable, en termes d'espaces de Bergman, n'a été obtenue que très récemment. Basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza, je présenterai des résultats sur l’espace atteignable pour l’équation de la chaleur avec des perturbations d’ordre inférieur ou des semi-linéaire en dimension $d\geq 1$.