Graphes en rubans dirigés et équations de Cut-and-Join

L'étude des graphes en rubans, aussi appelés cartes, est un domaine de recherche très actif à l'interface entre la combinatoire, la géométrie et la physique. Les graphes dirigés sont liés aux cartes bipartites, aux volumes des espaces des modules des différentielles abéliennes et ont notamment été étudiés par Ivan Yakovlev.

Dans cette présentation, j'expliquerai que l'on peut décomposer tout graphe en ruban dirigé en une famille de graphes à un sommet. Cette décomposition, dite acyclique, est canonique et s'obtient en effectuant des découpages le long de courbes tracées sur le graphe.

En utilisant cette décomposition, on peut calculer les volumes des espaces des modules des graphes en rubans métrisés dirigés.

Dans un second temps, j'expliquerai comment les graphes en rubans dirigés permettent de définir des opérateurs sur les espaces de fonctions symétriques et d’obtenir la série génératrice des dessins d’enfants (on contrôle deux ramifications sur trois). La décomposition acyclique fournit alors une famille d'équations, appelées équations de Cut-and-Join, qui permettent de calculer cette série.