Premiers de mauvaise réduction de certaines courbes de genre $2$

Étant donné une courbe sur un corps de nombres, caractérisée par de jolies conditions arithmétiques, c’est un jeu assez classique de comprendre ses réductions modulo un premier, même sans connaître explicitement une équation de cette courbe. Cela a été fait pour les courbes à multiplication complexe (CM) en genre $1$ et $2$. 

On étudie ici les courbes de genre 2 dont la jacobienne est le carré d’une courbe elliptique CM. On fera intervenir l’invariant de Humbert raffiné introduit par Kani pour borner et énumérer les premiers de mauvaise réduction, puis des résultats plus sophistiqués de Kudla et Rapoport pour contrôler les exposants. Certains résultats annexes sur les courbes supersingulières orientées ou sur les relations entre invariants et formes modulaires pourront être évoqués si le temps le permet, mais on essaiera surtout de mettre en avant les nombreuses questions ouvertes qui demeurent autour de ce problème.

L’article, en commun avec Elisa Lorenzo García et Fernando Rodríguez Villegas, est disponible ici: https://arxiv.org/abs/2412.08738