Courbes elliptiques congrues à $y^2=x^3-23$ modulo $23$

Étant donné une courbe elliptique $E/\mathbb Q$ et un nombre premier $p$, peut-on déterminer toutes les courbes elliptiques $F/\mathbb Q$ telles que $E[p](\bar{\mathbb Q})$ et $F[p](\bar{\mathbb Q})$ soient des modules galoisiens isomorphes (on dit alors que $E$ et $F$ sont congrues modulo $p$)? Une conjecture attribuée à Frey et Mazur affirme que lorsque $E$ est fixée et $p$ est assez grand, les seules solutions $F/\mathbb Q$ sont des courbes elliptiques isogènes à $E$. On peut reformuler ce problème comme la détermination des points rationnels d'une courbe $X_E(p)$, tordue de la courbe modulaire classique $X(p)$ ; une stratégie introduite par Mazur permet d'attaquer ce type de questions. Je présenterai cette stratégie et comment l'appliquer au ces des congruences modulo $23$ à la courbe elliptique $y^2=x^3-23$.