Dépendance de l’équation de Schrödinger non-linéaire vis-à-vis de la puissance de la non-linéarité

Dans cet exposé à quatre mains, nous présenterons nos travaux récents sur la dépendance du flot de l’équation de Schrödinger non linéaire vis-à-vis de la puissance $\sigma$ de la non-linéarité. Nous commencerons par un panorama des principaux résultats connus (anciens et plus récents) selon la valeur de $\sigma$. Nous mettrons ensuite en lumière le rôle central joué par l’équation de Schrödinger logarithmique pour décrire le comportement en temps long de l’équation dans le régime $\sigma \to 0$ du cas défocalisant (travail en collaboration avec R. Carles). Enfin, nous discuterons dans le cas focalisant de la convergence des ondes solitaires vers le Gausson lorsque $\sigma \to 0$, et vers le soliton algébrique lorsque $\sigma \to 2/(d-2)_+$ (travail en cours avec R. Carles et D. Pelinovsky).