Méthode de Mahler

L'écriture décimale des nombres, bien que nous la manipulions quotidiennement, reste une source de mystères. Ainsi les conjectures :

   - la séquence 666 apparaît infiniment souvent dans l'écriture de $\sqrt{2}$

   - la date des prochaines élections législatives en France apparaît dans toutes les puissances suffisamment grandes de 2

semblent totalement hors de portée. 

Ces conjectures reposent sur deux heuristiques :

(a) il n'y a aucune régularité apparente dans l'écriture décimale des nombres algébriques irrationnels

(b) les écritures dans deux bases multiplicativement indépendantes (comme 2 et 10) ne partagent aucune structure commune

Le langage des probabilités, celui des systèmes dynamiques, ou encore celui de l’informatique ont été mobilisés pour formaliser ces intuitions par Borel, Morse, Hedlund, Furstenberg, Turing, Hartmanis, Stearns et d'autres. Inspiré par ces travaux, Cobham a proposé, à la fin des années 1960, d’utiliser les automates finis, des machines de Turing très rudimentaires, pour définir une classe de nombres réels et d’ensembles d’entiers considérés comme particulièrement "simples". Un nombre réel est automatique dans une base donnée si son écriture dans cette base peut être produite par une telle machine.

Le but de cet exposé est de montrer comment la méthode de transcendance connu sous le nom de "méthode de Mahler" permet d'aborder ces questions et de démontrer ou redémontrer les résultats suivants

i) Aucun nombre algébrique irrationnel n'est automatique,

ii) Aucun nombre réel irrationnel n'est automatique dans deux bases multiplicativement indépendantes,

iii) Seuls les ensembles périodiques d'entiers sont automatiques dans deux bases multiplicativement indépendantes.