The cutoff phenomenon for Brownian motion on the torus

The cutoff phenomenon occurs in the study of the convergence of ergodic Markov chains towards their invariant measure. For a large class of these objects, we can expect that, when a size parameter (dimension, number of objects) becomes asymptotically large, convergence occurs abruptly. The aim of this presentation is to give an example of a natural Markov chain for which this phenomenon is relatively easy to prove.

After reviewing discrete-time Markov chains, we will present their continuous-time counterparts. We will then define Brownian motion on the torus and see how it fits into this framework. The end of the presentation will be devoted to concluding the proof of the cutoff.

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Le phénomène de cutoff intervient dans l'étude de la convergence des chaines de Markov ergodiques vers leur mesure invariante. Pour une grande catégorie de ces objets, on peut s'attendre à ce que lorsqu'un paramètre de taille (dimension, nombre d'objets) devient asymptotiquement grand, la convergence s'effectue brutalement. L'objectif de cet exposé est de donner un exemple de chaine de Markov naturelle pour laquelle ce phénomène est relativement facile à démontrer.

Après avoir donné quelques rappels sur les chaines de Markov en temps discret, on présentera leur homologue en temps continu. Nous définirons ensuite le mouvement brownien sur le tore et verrons comment il s'inscrit dans ce cadre. La fin de la présentation sera dévolue à conclure la preuve du cutoff.