Un critère d'arithméticité pour les réseaux de la boule unité

Soit L un réseau de la boule unité $B^n$ de $C^n$ et $S=L\backslash B^n$ le quotient de boule associé. On montre que si $S$ contient une infinité de sous-variétés totalement géodésiques maximales alors $L$ est un réseau arithmétique. La preuve de cet énoncé passe par la réalisation de S dans un domaine de période pour une $Z$-variation de structures de Hodge polarisées et l'interprétation des sous-variétés totalement géodésiques comme des intersections atypiques. Ceci permet d'utiliser un résultat de transcendance fonctionnelle théorème d'Ax-Schanuel pour les $Z$-VHS dû à Bakker-Tsimerman pour obtenir un énoncé de type Zilber-Pink géométrique qui permet de conclure la preuve du théorème. Il s'agit d'un travail en commun avec Gregorio Baldi.