Images de Galois des courbes elliptiques supersingulières sur $\mathbb{Q}_p$

Nous étudions la classification des images des représentations galoisiennes $p$-adiques associées à une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}_p$, le cas le plus délicat étant celui des courbes à réduction potentiellement supersingulière. La théorie de Hodge $p$-adique fournit une classification de ces représentations en termes d'objets d'algèbre semi-linéaire, mais il n'est pas aisé d'en extraire des informations explicites, par exemple sur leurs images. Nous obtenons une telle description en introduisant une famille de polynômes qui remplacent les polynômes de division classiques et dont le groupe de Galois peut être calculé explicitement. On en déduit des formules simples exprimant l'image de Galois uniquement en fonction du défaut de semi-stabilité et du $j$-invariant de la courbe elliptique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lorenzo Furio et Matthew Bisatt.