Semi‑groupes admettant des estimations inférieures : calcul fonctionnel $H^\infty$ de leurs générateurs

Batty et Geyer ont démontré qu’un $C_0$ semi‑groupe agissant sur un espace de Hilbert et satisfaisant des estimates inférieures possède également un semi‑groupe d’inverses à gauche. Nous soulignons d’abord que ce résultat ne subsiste pas en dehors du cadre Hilbertien : il est généralement faux dans les espaces de Banach.

Néanmoins, nous montrons que tout $C_0$ semi‑groupe vérifiant des estimates inférieures admet toujours une dilatation vers un $C_0$ groupe. Cette dilatation peut être construite de façon à préserver les propriétés géométriques de l’espace de Banach sous‑jacent, en particulier la propriété UMD (unconditional martingale differences).

Grâce à cette construction, on obtient un calcul fonctionnel $H^\infty$ pour le générateur du groupe dilaté, puis on ramène ce calcul fonctionnel au générateur original du semi‑groupe.

L’exposé s’appuie sur un pré‑print récent réalisé en collaboration avec Peer Kunstmann.