Entropie, convexité holomorphe et espaces localement symétriques

Soit $X=G/K$ un espace symétrique hermitien de type non-compact (en rang un, $X$ est la boule unité de $\mathbb{C}^n$ et $G$ le groupe $\mathrm{PU}(n,1)$), et soit $\Gamma$ un sous-groupe discret et sans-torsion de $G$. Peut-on donner des critères sur $\Gamma$ permettant d'affirmer que le quotient de $X$ par $\Gamma$ est holomorphiquement convexe, ou qu'il ne contient aucun sous-ensemble analytique compact de dimension positive ?

Je donnerais des critères inspirés par des travaux de Dey et Kapovich, qui portent sur l'exposant critique du groupe (en rang un) ou sur son entropie associée à une forme linéaire (en rang supérieur). Dans les deux cas, les preuves font intervenir des mesures de Patterson-Sullivan, et le but ultime est de montrer que ces quotients sont des variétés de Stein.

Les résultats en rang supérieur sont issus d'un travail en cours, en collaboration avec Colin Davalo.