Action du groupe fondamental sur les fibres d'un revêtement.

Soit $b \in B$. Un élément du groupe fondamental $\pi_1(B,b)$ est une classe d'homotopie de lacets de base b. Rappelons que deux lacets $c,c' : I:=[0,1] \rightarrow B$ sont homotopes s'il existe une application continue $H : I \times I \rightarrow B$ satisfaisant les propriétés

$$\begin{eqnarray*} H(t,0) & = & c(t) \mbox{ pour } t \in I \,, \\ H(t,1) & = & c... ... }Ês \in I \,, \\ H(1,s) & = & b \mbox { pour } s \in I \,. \\ \end{eqnarray*}$$

On peut alors faire opérer $\pi_1(B,b)$ sur la fibre p^-1(b) d'un revêtement $p : E \rightarrow B$, en associant à une classe $[c] \in \pi_1(B,b)$ et à un élément $x \in p^{-1}(b)$, l'élément $\gamma(1)$, où $\gamma : I \rightarrow E$ est un chemin dans E d'origine x relevant c (noter que $p \circ \gamma = c$). Cet élément ne dépend pas des choix effectués pour sa définition.