Classification des revêtements.

On a les résultats suivants.

Théorème 1   B possède un revêtement simplement connexe $p : E \rightarrow B$. Ce revêtement est un revêtement universel de B et le groupe G des automorphismes de E est isomorphe à $\pi_1(B,b)$. Si H est un sous-groupe de G, $q_H : E/H \rightarrow B$ est un revêtement connexe de B, et

$$\pi_1(E/H) \simeq H \,.$$

Théorème 1   Soit $q : D \rightarrow B$ un revêtement de B.
(i) Le groupe $\pi_1(B,b)$ opère sur q^-1(b) (voir paragraphe précédent).
(ii) Pour que D soit connexe, il faut et il suffit que $\pi_1(B,b)$ opère transitivement sur q^-1(b). Dans ce cas, si H est le stabilisateur d'un point $x \in q^{-1}(b)$, alors $H = q_*(\pi_1(B,b))$, et $q : D \rightarrow B$ est isomorphe au revêtement $q_H : E/H \rightarrow B$.
(iii) Le revêtement $q : D \rightarrow B$ est isomorphe à un revêtement associé au universel $p : E \rightarrow B$ par cette opération de $\pi_1(B,b)$ sur q^-1(b).
(iv) Pour qu'un revêtement $q' : D' \rightarrow B$ soit isomorphe au revêtement $q : D \rightarrow B$, il faut et il suffit que les opérations de $\pi_1(B,b)$ sur q^-1(b) et sur q'^-1(b) soient isomorphes.

Théorème 1   Soient H et K deux sous-groupes de $G ={\rm Aut\ } E$.
(i) Le revêtement $q_H : E/H \rightarrow B$ est un revêtement galoisien de B si et seulement si H est normal dans G, et alors

$${\rm Aut \ } E/H \simeq G/H \,.$$

Pour que $q_H : E/H \rightarrow B$ et $q_K : E/K \rightarrow B$ soient isomorphes, il faut et il suffit que H et K soient conjugués dans G.
(iii) Le groupe ${\rm Hom}_B(E/H, E/K)$ des homomorphismes de $q_H : E/H \rightarrow B$ dans $q_K : E/K \rightarrow B$ est isomorphe au groupe ${\rm Hom}_G(G/H, G/K)$.