MASTER 2




   
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Analyse Complexe : Cours d'Analyse Complexe en une variable (2010). Contenu:
  1. Formes différentielles, homotopie                 
    1. Définitions générales
    2. Intégration des 1-formes différentielles
      1. Définitions générales et formule de Stokes
      2. Indice d'un lacet par rapport à un point
    3. Homotopie
    4. Deux applications
      1. Logarithme complexe
      2. Quelque propriétés de l'indice
  2. Fonctions holomorphes
    1. Définition et propriétés fondamentales
    2. Premières propriétés des fonctions holomorphes
    3. Séries de Laurent et Théorème de l'application ouverte
    4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf
  3. Fonctions harmoniques
    1. La formule de Green
    2. Fonction harmoniques et sous-harmoniques et propriété de la moyenne
    3. Le problème de Dirichlet classique dans une boule
    4. Cas particulier de la dimension 2, liens avec les fonctions holomorphes
      1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques
      2. Fonctions sous-harmoniques
      3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes
  4. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass
    1. Théorème de Runge et enveloppes d'holomorphie
    2. Résolution C-infini des équations de Cauchy-Riemann
    3. Le Théorème de Weierstrass
      1. Première démonstration du Théorème de Weierstrass
      2. Produits infinis de fonctions holomorphes
      3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass
      4. La sphère de Riemann
      5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass
  5. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann
    1. Généralités
    2. Exemple de groupes d'automorphismes
      1. Le groupe des automorphismes du plan complexe
      2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann
      3. Le groupe des automorphismes du disque unité
    3. Le Théorème de Riemann
    4. Régularité au bord des transformations conformes
  6. Prolongement analytique, fonctions modulaires, Théorème de Picard
    1. Le cas des séries entières
    2. Le Théorème de Monodromie
    3. Fonctions modulaires
    4. Le Théorème de Picard
      1. Un Théorème de Landau et un Théorème de Bloch
      2. Un Théorème de Schottky
      3. Démonstration du grand Théorème de Picard