Projet Estimées de Carleman \(L^p\) et applications
Projet financé dans le cadre du programme PHC UTIQUE, 2021 - 2023.Code du PROJET : 46359ZJ, code CMCU : 21G1502.
Mentionné dans les publications sous la forme: We acknowledge the financial support of the partenariat Hubert Curien Utique from the French ministry Ministère de l'Europe et des Affaires Etrangères and the Tunisian ministry Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique.
Objectif du projet:
Ce projet a pour objectif d'obtenir des estimées de Carleman globales dans des cadres non-hilbertiens, typiquement dans les espaces de Lebesgue \(L^p\), et d'appliquer ces résultats sur les questions d'identification de paramètres pour les phénomènes de propagation d'onde électrique dans le coeur.
Les estimées de Carleman ont été développées initialement pour traiter de questions de prolongement unique [Carleman 1939, Calderon 1958, Hormander 1958], c'est-à-dire des questions du type : Si \(P\) est un opérateur, \(u\) résout \(Pu = 0 \) dans tout l'espace et \(u =0\) sur un sous ensemble, peut-on garantir que \(u = 0\) partout ?
On peut même affiner cette question et chercher des conditions garantissant le prolongement unique fort, à savoir, si \( Pu = 0 \) dans tout l'espace et \(u\) est nul à l'ordre infini en un point (ce qui doit être convenablement défini pour des solutions dans des espaces de Lebesgue), alors \(u \) est nul partout.
Ces questions ont été traitées à l'aide d'inégalités de Carleman locales, d'abord dans un cadre Hilbertien, puis dans un cadre non- hilbertien à l'aide de techniques d'analyse harmonique, utilisant le théorème de restriction de Stein Tomas ou des ingrédients similaires (théorie des intégrales singulières, notamment), voir en particulier les travaux [Jerison Kenig 1985, Kenig Ruiz Sogge 1987, Wolff 1992, Koch Tataru 2001, Dos Santos Ferreira 2005] concernant les opérateurs elliptiques d'ordre deux avec des perturbations d'ordres inférieurs. D'autres travaux ont ensuite été développés dans d'autres cadres, notamment le cadre parabolique, voir [Koch Tataru 2009] et les références qui y sont données.
Dans les années 90, sous l'influence décisive des travaux [Lebeau Robbiano 1995, Fursikov Imanuvilov 1996], les inégalités de Carleman \(L^2\) ont été utilisées pour quantifier des propriétés de prolongement unique dans des domaines bornés et en déduire des propriétés de contro\ocirc;labilité pour les équations de la chaleur. Ces techniques ont ensuite été étendues a;à de nombreux cadres d'équations paraboliques, notamment en mécanique des fluides pour les équations de Navier-Stokes incompressibles [Fernandez -Cara Guerrero Imanuvilov Puel 2004], ou plus récemment pour la chaleur en présence d'interface [Le Rousseau Robbiano 2011]. Dans tous ces travaux, la difficulté est de développer des inégalités de Carleman près des bords d'un domaine. Par opposition aux inégalités de Carleman locales mentionnées précédemment pour l'obtention de propriétés de continuation uniques, on appellera dans la suite ces inégalités des inégalités de Carleman globales.
Toutefois, nous insistons sur le fait que ces inégalités de Carleman globales n'ont été développées à notre connaissance que dans des cadres hilbertiens (\(L^2\)) et perdent donc certaines informations d'intégrabilité. En effet, dans le cadre du prolongement unique, les résultats basés sur des inégalités de Carleman \(L^2\) [Hormander 1963] n'avaient pas réussi à atteindre les classes d'intégrabilité optimales pour des perturbations d'opérateur elliptiques d'ordre 2. Le but de ce projet est de combler ce manque, et d'adapter les techniques d'analyse harmonique développées pour obtenir des estimées de Carleman \(L^p\) locales pour montrer des estimées de Carleman \(L^p\) globales, et donc en particulier valides près des bords de domaine.
Pour souligner l'importance de cette question, nous aimerions mentionner que les inégalités de Carleman \(L^2\) globales ont été utilisées dans de nombreuses situations. Outre les résultats de controôlabilité énoncés plus haut pour des équations paraboliques, elles sont aussi naturellement un outil décisif pour analyser la stabilité des problèmes inverses, voir par exemple les travaux [Imanuvilov Yamamoto 1998, Imanuvilov Yamamoto 2001, Imanuvilov Yamamoto 2003], et le récent ouvrage [Bellassoued Yamamoto 2017] sur le sujet.
Dans ce projet, nous nous concentrerons sur l'obtention d'inégalités de Carleman \(L^p\) pour des opérateurs elliptiques d'ordre deux, puis pour des opérateurs paraboliques. Dans ces deux contextes, notre objectif est d'obtenir des résultats de quantification du prolongement unique (c'est à dire u petit dans un sous ouvert et \(Pu = 0 \) dans un domaine implique que \(u\) est petit partout) pour des perturbations d'ordre zéro et un dans des classes optimales d'intégrabilité.
Nous appliquerons également ces résultats à des questions d'identifiabilité et de stabilité de paramètres dans des modèles mathématiques gouvernant l'activité électrique du coeur, avec pour but ultime de pouvoir reproduire numériquement, avec le plus de précision possible, les phénomènes d'arythmie cardiaques, afin de mieux les comprendre.
Dans ce contexte, l'application numérique passe d'abord par une compréhension théorique de la nature du problème inverse considéré (bien ou mal posé, stable ou instable, etc). En particulier, les informations nécessaires pour faire des simulations numériques pertinentes basées sur les modèles mathématiques développés sont des informations pathologiques, qui sont soit des informations structurelles liées à la pathologie (hypertrophie, hypotrophie, malformation, ...), soit des paramètres liés aux aspects fonctionnels de l'activité électrique du coeur. C'est ce dernier cas qui nous intéressera spécifiquement, et nous chercherons à retrouver au mieux les paramètres du modèle de réaction diffusion considéré, tel que les conductivités électriques ou les paramètres du modèle ionique (paramètres de réaction) caractérisant l'état du tissu cardiaque du patient.
Nous considérerons le modèle bidomaine, utilisé pour simuler le tissu cardiaque électrique et pour étudier la simulation de défibrillation, et donné par un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) couplées de façon non linéaire avec un ensemble d'équations différentielles ordinaires (EDO) décrivant la dynamique de la membrane cellulaire. Les EDP consistent en une équation elliptique linéaire et une autre parabolique non linéaire dont les variables d'état sont fortement couplées. Le modèle de la dynamique de la membrane cellulaire est exprimé en utilisant le formalisme de Hodgkin-Huxley [Hodgkin-Huxley 1952], ensuite adapté pour les cellules cardiaques de Purkinje [Noble 1960], puis pour les cellules ventriculaires [Beeler Reuter 1970]. Ces modèles permettent également d'inclure des modèles de pompe ionique [Di Francesco Noble 1985, Luo Rudy 1991-1994]. Dans tous ces modèles, les conductances maximales jouent un rôle important dans la génération du potentiel électrique et dans la détermination de certaines conditions pathologiques ou dans l'étude de l'effet des médicaments, et compte tenu de leur importance dans la modélisation, leur identification est un problème important.
Ce sujet est difficile en termes d'analyse mathématique et mise en oeuvre numérique. Dans le cadre de ce projet nous nous intéressons à l'analyse mathématique et notre objectif est de répondre aux deux questions suivantes : 1) Pour une mesure électrique donnée prise sur un patient, soit sur le coeur (électrogramme, obtenu à travers des cathéters), soit à la surface du corps (électrocardiogramme, obtenu par des électrodes placées sur le torse), existe-t-il un ensemble unique de paramètres qui permet au modèle de reproduire fidèlement ces mesures ? 2) Dans le cas où le problème d'identification admet une solution unique, quelle est la sensibilité de cette solution aux erreurs dans les mesures?
Ces questions font suite à des travaux d'identification considérés pour des modèles de réaction diffusion comme le modèle monodomaine [Lassoued Mahjoub Zemzemi 2016, Abidi Bellassoued Mahjoub Zemzeni 2018] et le modèle bidomaine [Abidi Bellassoued Mahjoub Zemzeni 2019] avec des inégalités de Carleman \(L^2\) globales. Notre but est de poursuivre dans cette direction à l'aide des inégalités de Carleman \(L^p\) globales développées au cours du projet, afin notamment d'identifier des coefficients dans des classes optimales d'intégrabilité.