La semaine de l’IMB

(Travaux en commun avec E. Shinder) Nous commençons par rappeler la notion d’application birationnelle entre variétés algébriques et par présenter quelques questions naturelles concernant les groupes de Cremona. Nous introduisons ensuite des invariants de nature motivique associés aux applications birationnelles, que nous utilisons pour démontrer la non-simplicité de la plupart des groupes de Cremona en exhibant des sous-groupes normaux propres. 

Étant donné une courbe elliptique $E/\mathbb Q$ et un nombre premier $p$, peut-on déterminer toutes les courbes elliptiques $F/\mathbb Q$ telles que $E[p](\bar{\mathbb Q})$ et $F[p](\bar{\mathbb Q})$ soient des modules galoisiens isomorphes (on dit alors que $E$ et $F$ sont congrues modulo $p$)? Une conjecture attribuée à Frey et Mazur affirme que lorsque $E$ est fixée et $p$ est assez grand, les seules solutions $F/\mathbb Q$ sont des courbes elliptiques isogènes à $E$. On peut reformuler ce problème comme la détermination des points rationnels d'une courbe $X_E(p)$, tordue de la courbe modulaire classique $X(p)$ ; une stratégie introduite par Mazur permet d'attaquer ce type de questions. Je présenterai cette stratégie et comment l'appliquer au ces des congruences modulo $23$ à la courbe elliptique $y^2=x^3-23$.