La semaine de l’IMB

Un des thèmes centraux de la théorie des nombres est la description des extensions d'un corps fixé (local ou global). Pour les extensions abéliennes, cela est résolu par la théorie du corps de classes, dont un des faits les plus remarquables est le lien étroit entre extensions locales et globales. Si on se restreint aux $p$-extensions abéliennes des corps de caractéristique $p$, cette théorie prend une forme très explicite : c'est la théorie d'Artin-Schreier(-Witt). Dans cet exposé, nous nous aventurerons au-delà du sentier bien balisé des extensions abéliennes, et irons chercher du côté des généralisations non-abéliennes de la théorie d'Artin-Schreier. Une spécificité de l'étude des $p$-extensions en caractéristique $p$ est la présence de ramification sauvage : celle-ci nous permettra de formuler un principe local-global dans l'esprit de la théorie du corps de classes, pour certaines $p$-extensions non-abéliennes, via l'étude d'un phénomène nouveau : l'invariance du conducteur des solutions minimales de problèmes de plongement locaux lors de la modification de la partie non-ramifiée du problème.

Les résultats présentés sont le fruit d'une collaboration avec Fabian Gundlach.