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Séminaire Théorie des Nombres
Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.
Le 3 mai 2024
à 14:00
Séminaire de Théorie des Nombres
Salle de conférences
Aurore Boitrel (Paris-Saclay)
Groupes d'automorphismes des surfaces del Pezzo de degré 5
Les surfaces del Pezzo et leurs groupes d'automorphismes jouent un rôle important dans l'étude des sous-groupes algébriques du groupe de Cremona du plan projectif.
Sur un corps algébriquement clos, il est classique qu’une surface del Pezzo est soit isomorphe à $\mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ soit à l’éclatement de $\mathbb{P}^{2}$ en au plus $8$ points en position générale, et dans ce cas, les automorphismes des surfaces del Pezzo (de tout degré) ont été décrits. En particulier, il existe une unique classe d'isomorphismes de surfaces del Pezzo de degré $5$ sur un corps algébriquement clos. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux surfaces del Pezzo de degré $5$ définies sur un corps parfait. Dans ce cas, il y a beaucoup de surfaces supplémentaires (comme on peut déjà le voir si le corps de base est le corps des nombres réels), et la classification ainsi que la description du groupe d’automorphismes de ces surfaces sur un corps parfait $\mathbf{k}$ se ramènent à comprendre les actions du groupe de Galois $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbf{k}}/\mathbf{k})$ sur le graphe des $(-1)$-courbes.
Le 7 juin 2024
à 14:00
Séminaire de Théorie des Nombres
Salle de conférences
Stefano Morra LAGA (Paris 13)
Un modèle local pour les représentations potentiellement Barsotti–Tate
Les anneaux de déformation potentiellement Barsotti–Tate sont un outil essentiel pour l’obtention de résultats profonds en arithmétique, comme la conjecture de Shimura–Taniyama–Weil ou la conjecture de Breuil–Mézard. Néanmoins leur géométrie n’est pas encore bien comprise, et présente de comportement variés avec la parution de points irréguliers ou non-normaux (comme montré par des exemples et conjectures de Caruso–David–Mézard). Dans cet exposé nous discuterons comment les champs de modules de Breuil–Kisin peuvent être utilisés pour décrire la géométrie des champs des représentations potentiellement et modérément Barsotti–Tate (en rang 2, pour des extension non ramifiées de $\mathbf{Q}_p$), en utilisant la théorie des modèles locaux des groupes des lacets en caractéristique mixte. L’outil technique principal est une analyse de la p-torsion d’un complexe tangent pour relever des cartes affines pour des images schématiques entre champs de Breuil–Kisin et des représentations Galoisiennes. Avec ce procédé, nous obtenons un algorithme pour calculer des présentations explicites des anneaux de déformation potentiellement modérément Barsotti–Tate pour les représentations Galoisiennes de dimension 2 pour des extensions non-ramifiées de $\mathbf{Q}_p$. Ceci est un travail en commun avec B. Le Hung et A. Mézard.
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