Nous considerons des surfaces plates a singularites coniques, appelees surfaces plates avec foret effaçante, dont la structure metrique est proche de celle des surfaces de translation. L'espace de modules de ces surfaces est une deformation de l'espace de modules de surfaces de translation. Nous montrons dans un premier temps que cet espace de modules est un orbifold algebrique complexe, muni d'une forme volume naturelle. Notons que dans les cas classiques, i.e. surfaces de translation, et surfaces plates de genre zero, cette forme volume coincide avec les formes volumes habituelles. Nous montrons ensuite que le volume de l'espace de modules considere par rapport a cette forme volume, normalisee par certaine fonction d'energie, est fini. Comme applications, nous retrouvons des resultats classiques sur la finitude des volumes des espaces de modules de surfaces de translation, et de surfaces plates polyedrales dus a Masur-Veech, et Thurston.