Oxtoby et Ulam ont démontré qu'une mesure $\mu$ de proba d'une variété compacte peut être transportée sur la mesure de Lebesgue par un homéomorphisme si et seulement si elle est non-atomique, charge les ouverts non-vides, et si la mesure du bord de la variété est nulle. Nous montrons cet homéomorphisme peut être choisi de classe C^1 en dehors du lieu singulier de la mesure $\mu$. De plus, si $\mu$ est proche de Lebesgue pour la topologie faible, l'homéomorphisme peut être choisi C^0 proche de l'identité.