Dans cet exposé nous considérons une fonction temps géométrique $T$ définie sur un espace temps $MGHC$ non élémentaire $S \times \mathbb{R}$ de dimension $2+1$ et à courbure constante. Une telle fonction définit naturellement une famille à un paramètre de métrique riemannienne $g_{t}$ sur $S$. En considérant les classes conformes de ces métriques riemanniennes, nous obtenons une courbe $[g_{t}]$, paramétrée par le temps $T$, dans l'espace de Teichmüller $Teich(S)$. Notre but est d'étudier la convergence de cette courbe vis à vis du temps, quand celui ci tend vers l'infini. Nous nous intéressons en particulier aux courbes associées au temps $CMC$ et au K-temps.