Sur le 17ème problème de Hilbert en trois variables

Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en montrant que tout polynôme réel positif en n variables est somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a amélioré ce résultat en montrant que $2^n$ carrés suffisent. En deux variables la situation est parfaitement comprise : on sait que 3 carrés suffisent en degré $\leq 4$ (Hilbert), mais que 4 carrés peuvent être nécessaires en degré $\geq 6$ (Cassels-Ellison-Pfister). Dans cet exposé, nous expliquerons un analogue en trois variables du théorème de Hilbert : un polynôme réel positif en trois variables de degré $\leq 6$ est somme de 7 carrés de fractions rationnelles.