On s'intéresse à l'analyse de problèmes qui s'écrivent sous la forme suivante : $\min\{J(K), K\mathrm{ convexe }\ \subset\mathbb{R}^d\}$ où $J$ est une fonction d'énergie définie sur les domaines de $\mathbb{R}^d$. Il s'agit d'un problème d'optimisation de forme, dont la spécificité réside dans la contrainte de convexité faite sur les domaines. On donnera de nombreux exemples de telles situations, comme le problème de résistance minimale de Newton, la conjecture de Mahler en géométrie convexe, et la conjecture de Polya-Szego en théorie du potentiel. On montrera que tous ces problèmes attestent de comportements similaires, liés à la non-convexité de la fonctionnelle $J$ à minimiser. Dans plusieurs exemples, l'énergie admet même des propriétés de concavité ; on verra quelles informations on peut en déduire sur les formes optimales, solutions du problème précédent.