Sur le relèvement harmonique des opérateurs à coefficients complexes

On se donne un opérateur elliptique $L = -div(A(x) \nabla)$ à coefficients éventuellement complexes sur un domaine $\Omega$ de bord $\Gamma$. On peut résoudre pour certaines fonctions $\phi$ le problème de Dirichlet

$Lu = 0 \mbox{ dans } \Omega, u = \phi \mbox{ sur } \Gamma.$

L'opérateur $\gamma: \phi \mapsto u$ est appelé le relèvement harmonique associé à $L$. On discutera du problème de savoir si $\gamma$ se prolonge de $L^p(\Gamma)$ dans $L^p(\Omega)$.