Formules explicites pour le nombre de points rationnels d’une courbe singulière définie sur un corps fini

L’étude du nombre de points rationnels d’une courbe lisse définie sur un corps fini est un problème classique en géométrie algébrique. Dans ce séminaire, nous nous intéressons à l’une des méthodes permettant d’aborder cette question, à savoir les formules explicites introduites par J.-P. Serre. Notre objectif est de généraliser ces formules au cas des courbes singulières afin d’obtenir de nouvelles bornes pour le nombre de points rationnels de telles courbes. Cette approche nous permet également d’établir de nouvelles valeurs exactes pour le nombre maximal de points d’une courbe de genre arithmétique et géométrique fixé. Enfin, nous verrons comment l’étude des points rationnels des courbes singulières peut aussi fournir des informations sur les courbes lisses.