Les groupes $K$ des anneaux de groupes

Pour un anneau associatif unitaire $S$ et un entier $n$ non négatif, on définit le groupe $K_n (S)$. Pour une indéterminée $t$, le groupe $NK_n (S)$ est défini comme le noyau de l’application de $NK_n(S[t]))$ vers $NK_n (S)$ qui envoie $t$ sur $0$. Lorsque $S$ est régulier (à gauche) , on sait bien que nous avons la propriété d’homotopie, qui affirme que $NK_n (S)=0$. Farrell a montré que si $NK_n (S)$ est non trivial, alors il est infini. Nous nous intéresserons à la situation où $S$ est une algèbre de groupe de la forme $R[G]$, où $R$ est commutatif (sous certaines conditions faibles) et $G$ est un groupe fini. Dans cette situation, bien entendu, $R[G]$ n’est pas en général régulière. Nous montrerons notamment que $K_n(R[G])$ est d’exposant borné et, de plus, nous fournirons une borne explicite pour cet exposant. Ensuite, à la suite des travaux de Farrell–Jones, nous appliquerons nos méthodes à l’étude de $K_n(R[H])$ lorsque le groupe $H$ est infini.