Indépendance linéaire de valeurs de polylogarithmes

En 2000, Rivoal a démontré qu'une infinité de valeurs aux entiers impairs de la fonction zêta de Riemann étaient irrationnelles, et même linéairement indépendantes sur le corps de rationnels. Pour cela, il a construit une suite de combinaisons linéaires explicites de ces nombres et leur a appliqué un critère d'indépendance linéaire du à Nesterenko (1985). En 2026, Fischler a amélioré et généralisé ce résultat en utilisant pour la première fois des combinaisons linéaires non explicites, obtenues grâce à un lemme de Siegel. Dans ce cadre, il n'est plus possible de satisfaire les hypothèses du critère de Nesterenko, et il est nécessaire d'introduire un nouveau critère d'indépendance linéaire basé sur les idées de Siegel. Pour vérifier les hypothèses de ce nouveau critère, il faut alors considérer un système différentiel sous-jacent aux constructions précédentes et lui appliquer un "lemme de Shidlovskii". Nous présentons ces deux résultats et les idées majeures mobilisées dans leurs démonstrations, puis nous énonçons une généralisation du théorème de Fischler. Il s'agit d'un résultat d'indépendance linéaire sur des valeurs de polylogarithmes à coefficients périodiques, qui reste valable en dehors de leur disque de convergence, en travaillant avec leur prolongement analytique.