L'invariant l et zéros triviaux des fonctions L p-adiques

Soit $V$ une représentation $p$-adique pseudo-géométrique de \text{\rm Gal} (\bar \bold Q/\bold Q).Dans cet exposé on s'intéresse au comportement aux entiers de la fonction $L$ $p$-adique $L_p(V,s)$ de $V$. Le phénomène de zéros triviaux apparaît lorsque le facteur eulerien $E_p(V,s)$ s'annule en $s=0$ ou $s=1.$ Dans ce cas la fonction $L$ $p$-adique peut avoir un zéro d'ordre strictement supérieur à celui de la fonction $L$ complexe. Si $V$ est ordinaire en $p$, Greenberg lui a associé un invariant $\ell_p$ et a conjecturé que $\ell_p$ intervient dans la formule liant les valeurs spéciales de la fonction $L$ $p$-adique et de la fonction $L$ complexe comme facteur supplémentaire. En utilisant la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules on généralise la d'efinition de $\ell_p$ à toutes les représentations semi-stables. On montre ensuite que dans le cas de zéros triviaux, cet invariant intervient comme facteur supplémentaire dans la formule à la Bloch et Kato pour la valeur spéciale de la fonction $L$ $p$-adique de Perrin-Riou.