Lemmes de déplacement et indices de variétés algébriques

L'indice d'une variété algébrique $X$ sur un corps $K$ est le pgcd des degrés de ses points. Dans un travail en commun avec Ofer Gabber et Dino Lorenzini, nous étudions quelques propriétés de l'indice notamment lorsque $K$ est un corps de valuation discrète hensélien. Si $X$ s'étend en un schéma propre régulier sur l'anneau de valuation de $K$, nous relions l'indice de $X$ aux indices des composantes irréductibles (non nécessairement régulières) de la fibre spéciale, généralisant des résultats antérieurs de Colliot-Thélène-Saito et de Bosch-Liu, et répondant à une question de P. Clark. Nous proposons deux preuves reposant d'une part sur un lemme de d'eplacement pour des variétés singulières, et d'autre part sur un lemme de d'eplacement des $1$-cycles sur un schéma régulier.