Optimisation du théorème d'Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique

Soient $p$ un nombre premier, $Q_p$ le corps des nombres $p$-adiques, $K$ une extension finie de $Q_p$, $\overline{K}$ une clôture algébrique et $C$ la complétion de $\overline{K}$. Dans sa preuve du théorème d'Ax-Sen-Tate, que je rappellerai, Ax montre que si $x$ élément de $C$ vérifie $v(sx-x)\geq A$ pour tout $s$ dans le groupe de Galois absolu de $K$ noté $G$ alors il existe $y$ dans $K$ tel que $v(x-y)\geq A-c$, où $c$ est la constante $p/(p-1)^2$. Ax s'interroge sur l'optimalité de cette constante, je répondrai à cette question en utilisant l'extension de $K$ par les racines $p^n$-èmes de l'uniformisante, et en m'appuyant sur les idées que Tate a d'eveloppées dans sa d'emonstration du théorème d'Ax-Sen-Tate. Je montrerai comment cette étude donne des résultats plus précis sur les éléments de $C$ vérifiant l'hypothèse du théorème d'Ax, qui permettent de d'ecrire assez précisément $H1(G,O_{\overline{K}})$.