Courbes elliptiques et indécidabilité d'anneaux de fonctions algébriques

Le dixième problème de Hilbert (trouver un algorithme concluant à l'existence - ou non - de solutions entières d'une équation diophantienne donnée) a été résolu négativement en 1970 par Matyasevich (à la suite de travaux de M. Davis, H. Putnam et J. Robinson). Depuis, les logiciens s'intéressent au problème analogue pour des anneaux R autres que Z, le cas ouvert le plus célèbre étant R=Q. J'expliquerai comment une méthode due à J. Denef permet de traiter le cas de certains anneaux de fonctions en caractéristique nulle.