Étude locale des torseurs sous une courbe elliptique

Soit $\mathcal{O}_K$ un anneau de valuation discrète complet, à corps résiduel $k$ algébriquement clos de caractéristique $p > 0$, à corps des fractions $K$, et soit $\pi \in \mathcal{O}_K$ une uniformisante de $\mathcal{O}_K$. Notons $S = \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)$, avec $s$ le point fermé. Soit $J_K$ une courbe elliptique sur $K$, et notons $\mathcal N$ son $S$-modèle de Néron, $J = \mathcal N^{\circ}$ sa composante neutre. Donnons-nous par ailleurs un torseur $X_K$ sous $J_K$ d'ordre $d$, et soit $X$ le $S$-modèle propre minimal régulier de $X_K$. En général, $X$ n'est pas cohomologiquement plat, et son foncteur de Picard $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}$ n'est pas représentable, même par un espace algébrique en général. C'est connu qu'il existe un épimorphisme (pour la topologie fppf) de foncteurs en groupes naturel $q : \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \rightarrow J$ qui prolonge l'isomorphisme de bidualité sur la fibre générique. De plus, le pgcd des multiplicités des composantes irréductibles de $X_s$ est $d$. Il existe donc un faisceau inversible d'idéaux $\mathcal I$ de $\mathcal O_X$ tel que $\mathcal I^d = \pi \mathcal{O}_X \subset \mathcal O_X$. Dans cet exposé, on va étudier les faisceaux inversibles sur $X$ en relation avec la filtration $\mathcal I$-adique, et ensuite montrer que le morphisme $q$ ci-dessus est compatible avec la filtration $\mathcal I$-adique sur $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}(S)$, et la filtration $\pi$-adique sur $J(S)$. Tout ceci se dit agréablement sur les réalisations de Greenberg de $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}$ et $J$. Cette étude conduit aussi aux fonctions de Herbrand, similaires à celles rencontrées par Serre dans sa description du corps de classes local.