Sur le calcul des coefficients des formes modulaires

Soit $f$ une forme modulaire de poids et niveau donnés sur un corps de nombres. Pour tout entier positif $m$, soit $a_m(f)$ le $m$-ième coefficient du $q$-développement de $f$. On sait que $f$ est déterminée par les coefficients $a_0(f), ..., a_N(f)$, avec $N$ suffisamment grand. Il est naturel de se poser la question si, étant donnés $a_0(f), ..., a_N(f)$ et un entier positif $m$, on peut calculer « rapidement » $a_m(f)$. J.-M. Couveignes, S. J. Edixhoven et al. ont récemment développé un algorithme pour résoudre ce probleme pour les formes de niveau 1. La méthode est basée sur le calcul de représentations modulaires de dimension 2 du groupe de Galois absolu de {\bf Q} sur des corps finis. J'expliquerai cet algorithme, ainsi qu'une généralisation aux formes de plus haut niveau qui est donnée dans ma thèse. Je donnerai une application au problème suivant : pour $k$ et $n$ entiers, avec $k$ pair, quel est le nombre de représentations de $n$ comme somme de $k$ carrés ?