Relèvement de sections le long de torseurs

Etant donné une courbe lisse $X\to Spec(k)$ de genre au moins $1$ sur un corps $k$ et un diviseur effectif étale $D \subseteq X$, la question se pose du relèvement de sections $s: Gal_k \to \pi_1(X)$ en sections $s : Gal_k \to \pi_1(U)$, où $U = X \setminus D$. Nous étudions dans ce travail le relèvement au quotient $\pi_1^{cc}(U)$ de $\pi_1 (U)$ introduit par Mochizuki, et considéré par ailleurs par Sa" \i di. Dans le cas où le corps de base est $\mathbb{Q}$, et $D$ est une union de paquets de torsion, nous montrons que toute section $s : Gal_k \to \pi_1(X)$ se relève effectivement en une section $s : Gal_k \to \pi_1^{cc}(U)$. Un des ingrédients de la preuve est une nouvelle interprétation de $\pi_1^{cc}(U)$ comme le groupe fondamental d'un torseur sous un certain tore $F_D \to X$, naturellement associé au diviseur $D$. Travail en commun avec N. Borne et J. Stix.