Domaines fondamentaux pour l'uniformisation p-adique des courbes de Shimura

Dans cet exposé nous rappellerons d'abord la théorie de Cerednik et de Drinfel'd sur l'uniformisation $p$-adique des courbes de Shimura. Cela permet d'exprimer l'analytification non-archimédienne des courbes de Shimura comme un quotient du demi-plan $p$-adic ${H}_{p}$ pour l'action de certains sous-groupes discrets de ${PGL}_{2}({Q}_{p})$. Une fois fixées les idées fondamentales de cette théorie, nous montrerons une méthode qui permet de ''dessiner'' des domaines fondamentaux pour l'uniformisation $p$-adique des courbes de Shimura de discriminant $3p$ (ou $p$ congruent $1$ modulo $4$) et de certains recouvrements à la Mumford de ces courbes. Cette méthode nous permettra, entre autre, de connaître le graphe dual de différentes réductions modulo $p$ des courbes considérées. Pour montrer ceci, nous étudierons l'arithmétique dans un ordre maximal de l'algèbre de quaternions sur ${Q}$, qui est déployée à l'infini et de discriminant $3$. Il s'agit d'un travail en cours, en commun avec Laia Amorós.