Multiplication réelle et polynômes modulaires

Soit $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ou $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$. Il existe deux invariants qu'on appelle invariants de Gundlach qui engendrent le corps des fonctions modulaires symétriques de Hilbert. Si $\beta$ est un élément totalement positif de $O_K$ de norme $p$, les $\beta$-polynômes modulaires paramétrisent les classes d'isomorphisme de variétés abéliennes principalement polarisées ayant multiplication réelle par $O_K$ et munis d'une $\beta$-isogénie ou d'une $\beta^c$-isogénie. Nous décrivons un algorithme efficace pour calculer ces polynômes en transposant certains calculs sur l'espace de Siegel. Nous étendrons ces méthodes à des invariants dérivés des fonctions thêta.