Ensembles de réels de petite somme

On s'intéresse aux ensembles $A$ et $B$ de réels pour lesquels l'ensemble somme $A+B$ est de petite taille. On sait que la mesure de $A+B$ est de mesure au moins la somme des mesures de $A$ et de $B$ et que l'on a égalité lorsque $A$ et $B$ sont des intervalles. En considérant les diamètres de $A$ et $B$, I. Ruzsa a cependant amélioré cette minoration. Nous expliquerons son travail et nous décrirons les ensembles $A$ et $B$ pour lesquels la taille de $A+B$ est proche de ce minorant. La considération de ce même problème dans le cercle permet d'améliorer les minorations pour les ensembles de réels et nous nous intéresserons donc aussi aux ensembles du cercle $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. Une partie de ce travail a été réalisé en collaboration avec Pablo Candela.