Recouvrements optimaux d'ensembles de Siegel tronqués par des boules euclidiennes

Étant donné un groupe algébrique $G$ agissant sur un espace affine $V$, il arrive que l'ensemble $V(\mathbb{Z})/G(\mathbb{Z})$ des orbites entières paramètre des objets arithmétiques et soit donc intéressant à énumérer. Une façon de s'y prendre consiste à expliciter un domaine fondamental de l'action de $G(\mathbb{Z})$ sur $V(\mathbb{R})$ et à y rechercher les points entiers. Pour cela, on peut essayer de recouvrir ce domaine fondamental par une famille de boules euclidiennes de rayon constant dont le cardinal soit du même ordre de grandeur que le nombre de points entiers. Je montrerai comment mettre en œuvre cette stratégie dans le cas simple de l'action à droite de $\mathrm{GL}_n$ sur $\mathrm{M}_n$, dont les orbites entières paramètrent les sous-modules de $\mathbb{Z}^n$, et pour laquelle on dispose de domaines fondamentaux approchés faciles à décrire, à savoir les ensembles de Siegel.