Bornes arithmétiques sur le rang des variétés abéliennes définies sur les corps de fonctions

(Travail en commun avec Jean Gillibert et Aaron Levin)

Il suit de la formule de Grothendieck-Ogg-Chafarevitch que le rang d'une variété abélienne de trace nulle définie sur le corps de fonctions d'une courbe est borné supérieurement par une quantité qui dépend du genre de cette courbe et de la mauvaise réduction de la variété abélienne. En adaptant aux corps de fonctions des techniques de descentes classiques, nous obtenons un raffinement arithmétique de cette borne. Notre résultat étend aux variétés abéliennes un résultat de Gillibert et Levin sur les courbes elliptiques et améliore aussi ce dernier. Nous considérerons en particulier cette borne pour les jacobiennes de courbes hyperelliptiques. Si le temps le permet, nous discuterons ces outils dans le cadre de l'étude des points des jacobiennes de certaines courbes de genre 2 définies sur des corps de fonctions rationnelles.