Marches dans le quadrant et théories de Galois, classique et différentielle

L'étude des marches confinées dans un cône est un sujet central en combinatoire énumérative. En effet, ces classes combinatoires sont en bijection avec de nombreuses classes d'objets en mathématiques discrètes (permutations, arbres, cartes planaires,...) en physique statistique (polymères,...) ou encore en probabilité (marches aléatoires, mouvements browniens,...). Ces dernières années, les travaux de nombreux chercheurs en combinatoire, calcul formel, probabilité et théorie de Galois différentielle ont permis de classifier entièrement les marches à petits pas et d'élaborer des stratégies robustes pour étudier celles à grands pas.

Dans cet exposé, je montrerai comment l'étude des marches à petits pas est liée à celle de courbes elliptiques sur des corps de fonctions et à leur réseau de Mordell-Weil. Si le temps le permet, je montrerai comment on peut attaquer les problèmes de classification à grands pas grâce à la théorie de Galois classique.