Schrödinger equation on graphs, dimensional reduction from 2D structures and bifurcation for 1D solitons.

L’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) posée sur les graphiques métriques fournit un modèle unidimensionnel efficace pour la propagation des ondes dans des milieux guidés minces. Dans cette présentation, nous justifions rigoureusement cette approximation par l’analyse des états stationnaires. Nous étudions d’abord le NLS stationnaire sur les graphes métriques, en nous concentrant sur la caractérisation variationnelle des états fondamentaux. Nous étudions ensuite la réduction dimensionnelle des états stationnaires issus de domaines bidimensionnels dans la limite de largeur de rétrécissement. Pour les bandes fracturées et les domaines produits plus généraux basés sur les graphes de la forme G \times [0,L], c’est-à-dire des espaces isomorphes au produit d’un graphe métrique avec un intervalle, nous démontrons l’existence d’une transition nette dans la dimensionnalité des états fondamentaux, compris comme des minimiseurs des grandeurs conservées associées au NLS dépendant du temps, c’est-à-dire l’énergie à masse fixe, ou l’action sous contrainte de Nehari. Plus précisément, il existe une largeur transversale critique telle que, sous ce seuil, chaque état fondamental coïncide avec l’état fondamental sur le graphe sous-jacent, trivialement étendu dans la direction transversale. Au-dessus, les états fondamentaux deviennent véritablement bidimensionnels. Enfin, dans le cas d’une bande droite, nous montrons qu’un état fondamental bidimensionnel se bifurque à partir du soliton en droite unidimensionnelle précisément à la largeur transversale critique.