Un algorithme pour l’involution d’Aubert-Zelevinsky

La dualité d’Aubert-Zelevinsky est une involution sur les représentations irréductibles d’un groupe p-adique, jouant un rôle central en théorie des représentations. Pour $\mathrm{GL}_n$, les représentations irréductibles peuvent être classifiées par des objets combinatoires appelés multi-segments. Dans ce cas, une formule explicite permettant de calculer le dual d’Aubert-Zelevinsky a été donnée par Mœglin et Waldspurger. Pour les groupes classiques tels que $\mathrm{Sp}_{2n}$ ou $\mathrm{SO}_{2n+1}$, les représentations irréductibles peuvent être décrites en termes de paramètres de Langlands. Dans cet exposé, je présenterai un algorithme combinatoire, inspiré de l’approche de Mœglin-Waldspurger, permettant de calculer le dual d’Aubert-Zelevinsky à partir des données de Langlands. Il est intéressant de noter que cet algorithme a été découvert à l'aide d'outils d'apprentissage automatique (machine learning), qui ont mis en évidence les structures ayant conduit à sa formulation. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Alberto Mínguez.

Je présenterai également une application web, langlandsprograms.com, développée en collaboration avec Petar Bakić et Elad Zelingher, où cet algorithme a été implémenté et peut être exploré de manière interactive.